张朝阳《物理课》详拆火星之旅：从地球到火星的引力奥秘

01、

如何从地球启程，经霍曼转轨飞往火星？4月12日中午，《张朝阳的物理课》第二百八十二期开播，搜狐创始人兼董事长、CEO、物理学博士张朝阳开讲搜狐视频直播间。他先是讲解了行星引力势的希尔球划分原理，然后依此将飞往火星的过程拆成三个只受单一引力影响的阶段，最后还推算了脱离地球时的双曲线轨道和前往火星的椭圆轨道。

先谈谈希尔球半径。火箭在太阳系中穿梭，无时无刻不受到太阳、八大行星乃至小行星的引力牵引。为了让问题简单些，可以把航程分成几段，每段只算一个主要天体的引力作用。希尔球（Hill sphere）是一种常用判别方法。具体是指，在行星某个范围内，火箭的运动主要受行星引力影响，这个范围近似成以行星为中心、与拉格朗日点L1/L2相交的球形区域，这就是行星在太阳系中的希尔球范围。

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有了希尔球的思路，就能把地球到火星的路程分成三部分：一、火箭从地球近地轨道逃出希尔球；二、在太阳引力主导下飞往火星轨道附近；三、进入火星希尔球并被捕获。这回先算算地球的希尔球半径，即日地拉格朗日点L1到地心的距离。之前物理课算过拉格朗日点，这里简单回顾下。考虑太阳地球双体系统，地球绕太阳旋转角速度为ω，日地距离为R，太阳和地球质量分别为M、m，用圆周运动公式可得：

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F=mv²/R=Mω²R

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当然，严格上太阳和地球绕质心旋转，右侧分母应为太阳质量，但因太阳质量远超地球，近似计算已足够准确。

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再看日地连线上距离地球某点，它若能随系统公转，则受力平衡方程为：

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F_{太阳}-F_{地球}=mω²(x-R)

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联立上述两式，对右边式子关于ω做一阶泰勒展开，就能解出L1到地心的距离公式：

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(张朝阳计算希尔球的半径)

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接下来计算去火星的转移轨道。正式计算前，张朝阳先定了五个关键速度：v1是近地轨道飞行速度；v2是近地轨道加速逃逸速度；v3是火箭相对地球的逃逸速度；v4是火箭相对太阳的逃逸速度；v5是转移阶段结束时的相对太阳速度。

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先看地球绕太阳公转速度v1。用圆周运动公式可得：

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v1=√(GM/R)=2πR/T

若想脱离太阳系引力，需满足：

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E>0 => mv1²/2-GM/R>0 => v1>√(2GM/R)

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而要飞出太阳系，速度需超过42.2km/s。飞往火星属于前者。要精确些，就在地球公转轨道上脱离太阳系，所需速度介于29.8km/s和42.2km/s之间。

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再确认地球飞往火星的椭圆轨道参数。圆锥曲线极坐标方程为：

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r=(p)/(1+e cosθ)

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其中近日点为日地距离，远日点为日火距离。由此解出偏心率e和半主轴a：

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a=(R+r)/2≈1.378AU

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参数B来自比奈变换：

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B=√(h²/(μ-a²))=√(GMh²/a³)

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其中h为比角动量。联立上述方程，得到火箭进入转移阶段时相对太阳的速度v4：

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v4≈18.46km/s

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对应的相对地球速度v3为：

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v3=v4-v1≈16.46km/s

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该转移轨道半长轴，用开普勒第三定律可算出周期：

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T=2π(a³/μ)^(1/2)

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转移过程只需半个椭圆，大约八个半月。

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最后计算脱离地球的逃逸轨道。张朝阳详细解析了如何把近地轨道转为转移轨道的双曲线。双曲线也是圆锥曲线，参数方程同椭圆。设近地轨道高度为h，地球半径为R，近地轨道速度为v1：

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火箭先加速到v2，远离地球后渐近速度v∞与v2、v1关系为：

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v∞²=v2²+v1²

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机械能守恒可导出：

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v∞²/2-GM/R-v1²/2-GM/R-E=0

由此求得速度增量Δv=v2-v1。进一步算出双曲线参数p和渐近线极角：

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(逃逸轨道的详细示意图)

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听说《张朝阳的物理课》每周日中午12时在搜狐视频直播。可去搜狐视频APP“关注流”搜“张朝阳”看直播和回放；关注“张朝阳的物理课”账号看知识点短视频；搜狐新闻APP“科技”账号上也能读到每期课程的图文版。

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